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电磁学

1 数学基础

  1. 矢量运算

    极矢量与轴矢量

  2. 立体角

  3. 坐标系

  4. 场论

  1. 导体问题

    • 解决工具

      1. 积分方法：以 \(\mathbf{E}\) 为基本量

        利用电场的积分公式，求解导体内部和表面的电场分布。

        \[ \mathbf{E} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int \frac{\sigma(\mathbf{r'}) (\mathbf{r} - \mathbf{r'})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^3} dA' \]

      2. 几何方法：环路定理与高斯定理

        应用高斯定理和边界条件分析导体内部和周围的电场：

        \[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} \]

        静电场中环路积分为零：

        \[ \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = 0 \]

      3. 微分方法：以 \(\phi\) 为基本量

        通过泊松方程求解电势分布：

        \[ \nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0} \]

        导体内部为等势体：

        \[ \phi = \text{常数} \]

    • 导体内部

      1. 自由电荷分布

        在静电平衡时，导体内部无自由电荷分布：

        \[ \rho = 0 \]

      2. 电场、电势、静电力、静电能量

        • 电场：

          \[ \mathbf{E} = 0 \quad (\text{导体内部}) \]

        • 电势：

          \[ \phi = \text{常数} \]

        • 静电能量：集中在导体表面。

    • 导体表面

      1. 电场、电势、静电力、静电能量

        • 电场在导体表面法向分布，满足：

          \[ E = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \]

        • 电势在表面处连续：

          \[ \phi_{\text{内}} = \phi_{\text{外}} \]

      2. 尖端效应

        在尖端附近，电场增强，满足：

        \[ E \propto \frac{1}{R} \]

        \(R\) 为曲率半径。

    • 导体周围

      1. 电场、电势、静电力、静电能量

    • 经典模型：

  2. 电介质问题

    • 解决工具

      1. 积分方法：以E为基本量

      2. 几何方法：环路定理与高斯定理

      3. 微分方法：以U为基本量

    • 极化物理量

      极化强度、极化电荷面密度、极化电场、极化电势、极化静电力、极化电流密度、极化率与介电常数

    • 电介质分界面问题

    • 经典模型

  3. 电像法

  4. 电容问题

    1. 真空、导体、电介质公式

    2. 经典模型：球形、柱形、平行板电容器 -->

2 静电学

  1. 电荷

    要了解的大概有：

    （1）静电感应

    （2）电荷常数

    （3）*单位换算：国际单位制与高斯单位制

    （4）电荷守恒

  2. 库仑定律

    • 库仑定律与牛顿第三定律的关系

      若被作用电荷静止，系统动量不变；但若被作用的电荷发生运动，系统动量变化，是否说明牛顿第三定律/动量守恒定律被破坏？

      解释：将场包含进去，运动电荷会产生磁场，满足系统电荷动量+磁场动量守恒

    • 证明平方反比

    • 叠加原理

    • 电荷震荡问题/表面等离激元

  3. 电场

    • 电场强度

      \[ \begin{aligned} & \boxed{\vec{F}=\frac{q_0Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\frac{\vec{r}}{r}} \\ & \boxed{\vec{E}=\lim_{q_0\to0}\frac{\vec{F}}{q_0}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\frac{\vec{r}}{r}} \end{aligned} \]

    • 叠加原理

    • 带电棒、圆环、圆面、圆柱、球面

    • 无限大平行板

    • 电偶极子

  4. 环路定理

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    环路定理的证明

  5. 电势能与电势

    • 电势，电势差与电势能：

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      电势能 W 就是 q 乘 电势（对每一个电荷元）

    • 电势与电场关系

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    • 带电棒、圆环、圆面、圆柱、球面

    • 无限大平行板

    • 电偶极子

  6. 高斯定理

    • 高斯定理

      （1）积分形式：

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      （2）微分形式：

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    • 导体电磁屏蔽

    • 球

    • 圆柱

    • 无限大平行板

3 导体与电介质

  1. 导体

    • 定义

    • 导体内部

      1. 自由电荷分布

      2. 电场、电势、静电力

    • 导体表面

      1. 电场、电势与静电力

      2. 尖端效应

    • 导体周围

      1. 电场、电势、静电力

    • 计算：导体静电问题

      导体球、导体同心球壳与不同心球壳、导体圆筒、半无限大导体

    • 电像法

    • 电容：球形、柱形、平行板

    • 电荷系静电能量问题

  2. 电介质

    • 电介质极化现象

    • 极化物理量

      极化强度、极化电荷面密度、极化电场、极化电势、极化静电力、极化电流密度

    • 电感应强度与电介质静电场

      电感应强度

      库伦定理、环路定理、高斯定理

    • 极化率与介电常数

    • 电介质分界面问题

      电场、电势与静电力

    • 电介质内部与外部

      电场、电势与静电力

    • 电场能/静电能量

3 电路

  1. 电流

    • 电流公式

    • 电流密度

    • 电流强度与电流密度

    • 电流线

  2. 电流连续性方程

    • 电流连续性方程

    • 电荷守恒的推导

  3. 稳恒电流场

    • 稳恒电流

    • 基尔霍夫第一定理

    • 稳恒电流电场的微分定律

  4. 欧姆定律

    • 欧姆定律

    • 电阻率

    • 欧姆定律微分形式

  5. 电流做功、功率

    • 焦耳定律

    • 焦耳定律微分形式

  6. 金属导电经典微观理论

  7. 电源与电动势

  8. 基尔霍夫定律

    • 第一定律

    • 第二定律

    • 支路电流法

    • 回路电流法

    • 复杂电路计算问题

  9. 电容充放电模型

4 静磁学

  1. 磁定义

    • 稳恒电流 I

    • 磁强度 B

    • 静磁力 F 磁力矩 L

    • 磁矢势与磁势能 φ,U

    • 磁场能 E

  2. 真空场

    • B-S定律积分方法

      经典模型：

    • 几何方法：环路定理与高斯定理

      经典模型：

    • Maxwell方程微分方法

      经典模型：

    • 等效磁荷法

      经典模型：

  3. 电荷运动

    • 安培力与洛伦兹力

    • 受力与运动学公式

      磁聚焦

    • 荷质比与质谱仪

    • 回旋加速器

    • 经典霍尔效应

    • 等离子体

    • 运动电荷的场

  4. 磁介质

    • B-S定律积分方法

      经典模型：

    • 几何方法：环路定理与高斯定理

      经典模型：

    • Maxwell方程微分方法

      经典模型：

    • 等效磁荷法

      经典模型：

5 电磁感应 麦克斯韦方程组 电磁波

运动场问题：

  1. 被作用电荷运动，静电力/磁力变化：

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  2. 带电物体运动，产生场问题：