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数列极限

极限的基础： 实数系的连续性

实数系 数列极限 无穷小量与无穷大量

实数系 最大数与最小数 上确界与下确界 数列与数列极限 数列极限的性质 数列极限的四则运算 无穷大量 待定型

    graph LR
    A[实数系 数列极限 无穷小量与无穷大量] --> B(实数系的连续性)
    A --> C(最大数与最小数)
    A --> D(上确界与下确界)
    A --> E(数列与数列极限)
    A --> F(数列极限的性质)
    A --> G(数列极限的四则运算)
    A --> H(无穷大量)
    A --> I(待定型)

定义

  1. 实数系： 整数点 有理点 实数连续统 数轴
    实数系/集的定义： 实数集合\(R\)。\(R = \{x|x是有理数或无理数\}\)
    实数连续统： 每个实数都可以在坐标轴上找到自己的对应点，而坐标轴上的每个点又可以通过自己的坐标表示唯一一个实数
    数轴： 表示实数全体的坐标轴称为数轴

  2. 最大数 最小数

    \[ \begin{gathered} \text{设 S 是一个数集}\\ \exists\xi\in S,\text{使得 }\forall x\in S,\text{有 }x\leq\xi,\text{则称 }\xi\text{ 是数集 }S\text{ 的最大数,记}\xi=\max S;\\ {如果}\exists\eta\in S,\text{使得 }\forall x\in S,\text{有 }x\geq\eta,\text{则称 }\eta\text{ 是数集 S 的最小数},\text{记为 }\eta=min S \end{gathered} \]

  3. 上确界 下确界

    • 有界的定义： \(S\text{ 为有界集 }\Leftrightarrow\exists X>0,\text{使得 }\forall x\in S,\text{有}|x|\leqslant X.\)
    • 在\(S\)上界全体组成的集合中，有一个最小数\(\beta\)，即为其上确界。

  4. 数列 数列的通项
    数列是指按正整数编了号的一串数：

    \[x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots \]

    通常表示成\(\{x_n\}\),其中 \(x_n\)称为该数列的通项.在这个数列中，第一项(即第一个数)是 \(x_1\),第二项是 \(x_2,\cdots\),第 \(n\) 项是 \(x_n\),等等.

  5. 定义 2.2.1 逼近 收敛与发散 极限 邻域 无穷小量

    • 逼近：要计算一个无法直接求得的数值，经常采用逼近的方法。即计算出一列较容易求得，同时精确程度越来越好的数作为它的近似值。
    • 收敛：

    定义 2.2.1 收敛与发散

    设\(\{x_n\}\)是一给定数列，\(a\)是一个实常数，如果对于任意给定的\(\varepsilon>0\),可 以找到正整数\(N\),使得当\(n>N\)时，成立

    \[\mid x_n-a\mid<\varepsilon\:,\]

    则称数列\(|x_n|\)收敛于\(a(\)或\(a\)是数列\(|x_n|\)的极限),记为

    \[\lim_{n\to\infty}x_n=a\:,\]

    有时也记为

    \[x_n\to a\:\left(\:n\to\infty\:\right).\]

    如果不存在实数 \(a\),使\(|x_n|\)收敛于 \(a\),则称数列\(|x_n|\)发散.

    ==邻域：\(a的\varepsilon邻域 O(a,\varepsilon)=\{x|a-\varepsilon<x<a+\varepsilon\}\)==

    定义 极限

    \[ \lim_{n\to\infty}x_{n}=a \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0 , \exists N , \forall n>N ; | x_{n}-a |<\varepsilon. \]

    ==极限为0的数列为无穷小量。==

  6. 数列极限的四则运算：

    \[ \begin{aligned} &\text{定理 2.2.5 设}\operatorname*{lim}_{n\to\infty}x_{n}=a ,\operatorname*{lim}_{n\to\infty}y_{n}=b , \text{则} \\ &\left(\begin{array}{cc}1\end{array}\right) \operatorname*{lim}_{n\to\infty}\left(\begin{array}{c}\alpha x_{_n}+\beta y_{_n}\end{array}\right)=\alpha a+\beta b \left(\begin{array}{c}\alpha,\beta\text{ 是常数}\end{array}\right); \\ &( 2 ) \operatorname*{lim}_{n\to\infty} ( x_{n} y_{n} )= a b ; \\ &( 3 ) \operatorname*{lim}_{n\to\infty}\left(\frac{x_{n}}{y_{n}}\right)=\frac{a}{b} ( b\neq0 ) . \end{aligned} \]

  7. 无穷大量
    定义 2.3.1 若对于任意给定的 G>0,可以找到正整数 N,使得当 n>N 时成立

    \[\mid x_{_n}\mid>G\:,\]

    则称数列\(\{x_n\}\)是无穷大量，记为

    \[\lim_{n\to\infty}x_{n}=\infty\:.\]

    若采用符号表述法，“数列\(|x_n|\)是无穷大量”可表示为 \(:\forall G>0,\exists N,\forall n>N:|x_n|>G.\)

  8. 待定型
    若分别以\(+\infty,-\infty,\infty,0\) 表示正无穷大量，负无穷大量，无穷大量与无穷小量，则很容易举出例子说明，如\(\infty\pm\infty,(+\infty)-(+\infty),(+\infty)+\) \((-\infty),0\cdot\infty,\frac00,\frac\infty\infty\)等极限，其结果可以是无穷小量，或非零极限，或无穷大量，也可以没有极限.我们称这种类型的极限为待定型

  9. 单调数列
    定义 2.3.2 如果数列\(\left\{x_n\right\}\)满足

    \[x_n\leqslant x_{n+1}\:,\quad n=1\:,2\:,3\:,\cdots\:,\]

    则称\(\left\{x_n\right\}\)为单调增加数列；若进一步满足

    \[x_n<x_{n+1}\:,\quad n=1\:,2\:,3\:,\cdots\:,\]

    则称为严格单调增加数列。

定理

实数系

定理 2.1.1 （确界存在定理——实数系连续定理）非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界。

定理 2.1.2 非空有界数集的上下确界是唯一的

数列极限

数列极限的性质：

  • 极限的唯一性： 定理 2.2.1 收敛数列的极限必唯一

  • 数列的有界性： 定理 2.2.2 收敛数列必有界

  • 数列的保序性性： 定理 2.2.3

  • 数据的夹逼性： 定理 2.2.4

无穷大量

\[ \text{定理 2.3.1}\quad\text{设 }x_n\neq0,\text{则}\mid x_n\mid\text{是无穷大量的充分必要条件是}\left\{\frac1{x_n}\right\}\text{是无穷小量}. \]
\[ \text{定理 2.3.2}\quad\text{设 }x_n是无穷大量,若当 n>N_0时，|y_n|\geqslant\delta>0成立，则\{x_n,y_n\}是无穷大量. \]
\[ 推论\quad\{x_n\}是无穷大量，\lim_n\to\infty y_n=b\neq0,则\left\{x_ny_n\right\}与\{\frac{x_n}{y_n}\}都是无穷大量 \]

定理 2.3.3( Stolz 定理) \(\quad\) 设\(|y_n|\)是严格单调增加的正无穷大量，且

\[\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=a\quad(\:a\:\text{可以为有限量}\:,+\infty\:\text{与}-\infty\:)\:,\]

则

\[\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=a.\]

笔记

  1. 证明某数集没有最大数、最小数，没有上确界、下确界的方法： 反证法

    反证法 最大数

    例 2.1.2 证明集合 \(B=\{x|0\leqslant x<1\}\)没有最大数

    证 用反证法.假设集合\(B\)有最大数，记为\(\beta\).由\(\beta\in[0,1)\),可知\(\beta^\prime=\frac{1+\beta}2\in[0,1)\) 但是\(\beta^\prime{>}\beta\),这就与 \(\beta\) 是集合 \(B\) 的最大数发生矛盾.所以集合 \(B\) 没有最大数

  2. 定义法求数列的极限

    定义发求数列的极限 几个典型极限

    证明：

    \[\lim_{n\to\infty}q^n(0<|q|<1)=0\]

    由极限的定义：对任意给定的 \(\varepsilon>0\),要找正整数 \(N\),便得当 \(n>N\) 时 ,成立

    \[\mid q^n-0\mid=\mid q\mid^n<\varepsilon\:,\]

    对上式两边取对数，即得 \(n>\frac{\lg\varepsilon}{\lg|q|}.\)于是 \(N\) 只要取大于\(\frac{\lg\varepsilon}{\lg|q|}\)的任意正整数即可.为保证\(N\) 为正整数，可取 \(N=\max\left\{\left[\frac{\lg\varepsilon}{\lg|q|}\right],1\right\}\),则当 \(n>N\) 时，成立

    \[\mid q^{n}-0\mid=\mid q\mid^{n}<\mid q\mid^{\frac{1}{\mid q\mid q\mid}}=\varepsilon.\]

    因此\(\lim_n\to\infty q^n=0\),即\(|q^n|\)是无穷小量.

    例 2.2.3 设 \(a>1\),证明：\(\lim_n\to\infty\sqrt[n]{a}=1.\)

    证 令\(\sqrt[n]{a}=1+y_n,y_n>0\) \((n=1,2,3,\cdots)\),应用二项式定理 ,

    \[a=\left(\begin{array}{c}1+y_n\end{array}\right)^n=1+ny_n+\frac{n\left(\begin{array}{c}n-1\end{array}\right)}{2}y_n^2+\cdots+y_n^n>1+ny_n\:,\]

    便得到

    \[\left|\sqrt[n]{a}-1\right|=|y_{_n}|<\frac{a-1}{n}.\]

    于是，对于任意给定的 \(\varepsilon>0\),取 \(N=\left[\frac{a-1}\varepsilon\right]\),当 \(n>N\) 时，成立

    \[\left|\sqrt[n]{a}-1\right|<\frac{a-1}{n}<\varepsilon.\]

    因此\(\lim_n\to\infty\sqrt[n]{a}=1.\)

    例2.2.4 证明:\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1\)

    证 令\(\sqrt [ n] {n}= 1+ y_n, y_n> 0\) \(( n= 2, 3, \cdots )\) ,应用二项式定理得

    \[n=\left(\begin{array}{c}1+y_n\end{array}\right)^n=1+ny_n+\frac{n\left(\begin{array}{c}n-1\end{array}\right)}{2}y_n^2+\cdots+y_n^n>1+\frac{n\left(\begin{array}{c}n-1\end{array}\right)}{2}y_n^2\:,\]

    即得到

    \[\left|\sqrt[n]{n}-1\right|=|y_n|<\sqrt{\frac{2}{n}}.\]

    于是，对于任意给定的 \(\varepsilon>0\),取 \(N=\left[\frac2{\varepsilon^{2}}\right]\),当 \(n>N\) 时，成立

    \[\left|\sqrt[n]{n}-1\right|<\sqrt{\frac{2}{n}}<\varepsilon.\]

    因此\(\lim_n\to\infty\sqrt[n]{n}=1.\)

    类似地可证：\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^k}=1\quad( k\in\mathbf{N}^+ )\)

  3. 夹逼法求数列的极限

  4. 求数列极限的方法（总结）

数列的收敛准则 实数系的5大基本定理

单调有界数列的收敛定理

定义

定理

笔记