第四章：能带论（2）¶
4.4 紧束缚近似 TBA¶
平面波法PN: 按照平面波展开波函数
紧束缚近似TBA：按照局域波展开
1 万尼尔函数¶
\[ \psi_{k}^{n}(r)=\psi_{k+K_{h}}^{n}(r)=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{l}a_{n}(R_{l},r)\mathrm{e}^{\mathrm{i}k\cdot R_{l}} \]
\[ a_n(R_l,r)=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_k\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k\cdot R_l}\psi_k^n(r) \]
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万尼尔函数的正交性
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万尼尔函数的完备性
用不同能带\(n\)、不同\(k\)的布洛赫函数，定义了一组不同能带\(n\)、不同格点\(R_\iota\)的万尼尔函数。利用布洛赫函数的正交性和完备性，不难证明万尼尔函数也构成正交、完备的函数集。
2 紧束缚近似¶
根本目的：求布洛赫波。
用布洛赫函数定义了万尼尔函数，于是定义一组近似的万尼尔函数，即可求得布洛赫波。
TBA 波函数¶
\[ \psi_{k}^{n}(\vec{r})=\frac{1}{\sqrt{N}}\mathrm{e}^{{\mathrm{i}\vec{k}\cdot\vec{r}}}\left[\sum_{l}\mathrm{e}^{{-\mathrm{i}\vec{k}\cdot(\vec{r}-\vec{R}_{l})}}\varphi_{n}(\vec{r}-\vec{R}_{l})\right]=\mathrm{e}^{{\mathrm{i}\vec{k}\cdot\vec{r}}}u_{{\vec{k}}}^{n}(\vec{r}) \]
TBA 能级¶
\[ E(\vec{k})=E_{{_{n}}}-\sum_{s}J(\vec{R}_{{_{s}}})\mathrm{e}^{{-\mathrm{i}\vec{k}\cdot\vec{R}_{s}}} \]
其中，
\[ \begin{aligned}&\int\varphi_n^*\left[\vec{\xi}-(\vec{R}_l-\vec{R}_{l^{\prime}})\right]\left[V(\vec{\xi})-U(\vec{\xi})\right]\varphi_n(\vec{\xi})\mathrm{d}\vec{\xi}\\&=-J(R_l-R_{l^{\prime}})=-J(R_s)\end{aligned} \]
取0：
\[ J(0)=-\int[V(\xi)-U(\xi)]\mid\varphi_n(\xi)\mid^2\mathrm{d}\xi \]
\[ E(\vec{k})=E_n-J(0)-\sum_{s\neq0}^\text{最近邻}J(\vec{R}_s)\operatorname{e}^{-\mathrm{i}\vec{k}\cdot\vec{R}_s} \]
能带¶
简单立方晶体原子中的 \(s\) 电子 \(\varphi_S(\bm{x})\) 形成的能带。