第六章 近独立粒子的最概然分布¶
6.1 粒子运动状态的经典描述¶
量子描述的铺垫
1 广义坐标¶
广义坐标，广义动量描述。
有广义能量
2 自由粒子¶
3 线性谐振子¶
\[ \begin{aligned} &Eg.2.Linearoscillator: \\ &\begin{aligned}F=-Ax=m\ddot{x}\Rightarrow\omega=\sqrt{A/m},\end{aligned} \\ &x=C_1\operatorname{sin}(\omega t+\phi_0), \\ &p=m\dot{x}=m\omega C_{1}\operatorname{cos}(\omega t+\phi_{0}), \\ &\text{energy: }\varepsilon=\frac{p^2}{2m}+\frac12m\omega^2x^2=\text{Const.} \\ &\Rightarrow\frac{p^2}{2m\varepsilon}+\frac{x^2}{2\varepsilon/(m\omega^2)}=1\text{ (trajectory in phase space)} \end{aligned} \]
4 转子¶
\[ \begin{aligned}&\text{Eg.3. Rotator: Rotating with fixed radius:}\\&\text{Kinetic energy: }\varepsilon=\frac12m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2).\\&\text{To polar coordinate: }x=r\sin\theta\cos\varphi,\\&y=r\sin\theta\sin\varphi,z=r\cos\theta.\\&\text{Kinetic energy: }\varepsilon=\frac12m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2).\end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} &\because\dot{r}=0,\therefore\varepsilon=\frac{1}{2}m(r^2\dot{\theta}^2+r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2). \\ &\text{Conjugate momentum of }\theta,\varphi\colon p_\theta=mr^2\dot{\theta}, \\ &p_{\varphi}=mr^{2}\operatorname{sin}^{2}\theta\dot{\varphi}. \\ &\therefore\varepsilon=\frac12\left[\frac{(mr^{2}\dot{\theta})^{2}}{mr^{2}}+\frac{(mr^{2}\operatorname{sin}^{2}\theta\dot{\varphi})^{2}}{mr^{2}\operatorname{sin}^{2}\theta}\right] \\ =\frac{1}{2I}(p_{\theta}^{2}+\frac{1}{\sin^{2}\theta}p_{\varphi}^{2}). \end{aligned} \]
6.2 粒子运动状态的量子描述¶
之后分布会运用到的关系铺垫
德布罗意波、不确定关系：
1 线性谐振子¶
2 转子¶
3 自旋角动量¶
电子、磁矩、磁场能量：
4 自由粒子¶
5 微观量子数和态密度¶
- 在 \(dp\) 里面包含的状态数：
\[ \begin{aligned} &\textsf{The number of state }(p_{x},p_{x}+\mathrm dp_{x})\colon(n_{x}+\Delta n_{x})-n_{x}, \\ &\begin{aligned}\text{where }p_x+\text{d}p_x=h\frac{n_x+\Delta n_x}{L}\end{aligned} \\ &\Delta n_{x}=\frac{L}{h}\mathrm{d}p_{x}\text{,also }\Delta n_{y}=\frac{L}{h}\mathrm{d}p_{y}\text{,}\Delta n_{z}=\frac{L}{h}\mathrm{d}p_{z}. \end{aligned} \]
- 总的状态数，微观量子数：
\[ \Delta n_x\Delta n_y\Delta n_z=\frac{V}{h^3}\mathrm{d}p_x\mathrm{d}p_y\mathrm{d}p_z. \]
- 态密度
\[ D(\varepsilon)\mathrm{d}\varepsilon=\frac{2\pi V}{h^3}(2m)^{3/2}\varepsilon^{1/2}\mathrm{d}\varepsilon \]
6.3 系统微观运动状态的描述¶
将不同粒子组成的系统进行分类，对不同分类有不同的描述（概率分布）
1 全同粒子和近独立粒子¶
2 经典系统 玻色系统 费米系统¶
分类：全同粒子是否可区分，是否可以占据同样的状态（泡利不相容）
玻尔兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的离子束不受限制的系统。分布满足玻尔兹曼分布
费米系统：由不可分辨的全同近独立费米子组成，遵从泡利不相容原理的系统。分布满足费米分布
玻色系统：由玻色子组成的系统，即全同粒子不可分辨，不受泡利不相容原理束缚
2个粒子，3个状态，系统状态数
- 经典（玻尔兹曼系统）：
- 玻色系统：
- 费米系统：
6.4 等概率原理¶
导出三系统概率分布的工具之一
6.5 分布和微观状态¶
我们如何描述分布？用什么标志？这章给出
1 分布¶
描述对象：近独立的全同粒子
参量：确定粒子数N，能量E，体积V
目标：数对于一种分布的数目（e.g. 粒子具有某一种能量对应的微观状态数）
(能级-简并度-粒子数)
\[ \sum a_l=N,\sum a_l\varepsilon_l=E. \]
意义：可以用粒子数取最大值的那个分布来代替整个系统（最概然分布）
2 三种系统的微观状态数¶
- 玻尔兹曼系统
\[ \Omega_{\mathrm{M.B.}}=\frac{N!}{\prod a_{l}!}\prod\omega_{l}^{a_{l}} \]
- 玻色分布
- 费米系统
3 经典极限条件¶
量子退化为经典
4 经典统计中的分布和微观状态数¶
经典统计：\(\mathsf{State:}(q_1,q_2,...,q_r;p_1,p_2,...,p_r)\text{,continuous, uncountable.}\)
\[ \Delta w=\Delta q_1...\Delta q_r\Delta p_1...\Delta p_r.\text{ Number of states: }\frac{\Delta w}{h_0^r} \]
6.6 玻尔兹曼分布 玻色分布 和 费米分布¶
1 玻尔兹曼分布¶
- 最概然
\[ \boxed{a_l=\omega_le^{-\alpha-\beta\varepsilon_l}}. \]
\[ N=\sum\omega_le^{-\alpha-\beta\varepsilon_l},E=\sum\omega_le^{-\alpha-\beta\varepsilon_l}\varepsilon_l \]
- 任意态
处在量子态l上的平均量子数f表示为：
\[ f=\frac{a_l}{\omega_l}=e^{-\alpha-\beta\varepsilon_l}. \]
说明：
符合条件： 1.为了能够让最概然分布能够代表系统状态，需要\(N~10^{23}\)，也就是大数系统
2.引入了6.6.1的近似，需要使\(a_l >> 1\)。这个条件很苛刻，故在巨正则系综有更普适的推导。
3.对于多元系（系统含有多种粒子），仍然成立
4.经典统计：
2 玻色爱因斯斯坦分布¶
\[ a_l=\frac{\omega_l}{e^{\alpha+\beta\varepsilon_l}-1} \]
3 费米狄拉克分布¶
\[ a_l=\frac{\omega_l}{e^{\alpha+\beta\varepsilon_l}+1} \]
4 三种分布的关系¶
\[ \begin{aligned}&\text{Boltzmann distribution: }a_l=\frac{\omega_l}{e^{\alpha+\beta\varepsilon_l}}.\\&\text{Bose distribution: }a_l=\frac{\omega_l}{e^{\alpha+\beta\varepsilon_l}-1}.\\&\text{Fermi distribution: }a_l=\frac{\omega_l}{e^{\alpha+\beta\varepsilon_l}+1}.\end{aligned} \]
当满足经典极限时，玻色分布和费米分布过渡到玻尔兹曼分布。