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6 微扰理论

不含时微扰理论

不含时微扰理论主要用于在系统哈密顿量随时间不变的情况下，计算系统能量本征值和本征态的修正。

1 非简并微扰理论

适用于不同能级彼此不简并的情况，即各个本征态对应不同的能量本征值。

基本假设：

哈密顿量可以分解为零阶哈密顿量 \( H_0 \) 和微扰项 \( H' \)：

\[ H = H_0 + \lambda H', \]

其中 \( \lambda \) 是微扰强度的参数。

修正公式：

  • 能量的一级修正：

$$ E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)} | H' | \psi_n^{(0)} \rangle, $$ 其中 \( \psi_n^{(0)} \) 为零阶本征态。

  • 波函数的一级修正：
\[ |\psi_n^{(1)}\rangle = \sum_{m \neq n} \frac{\langle \psi_m^{(0)} | H' | \psi_n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} |\psi_m^{(0)}\rangle. \]
  • 能量的二级修正：
\[ E_n^{(2)} = \sum_{m \neq n} \frac{|\langle \psi_m^{(0)} | H' | \psi_n^{(0)} \rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}}. \]

2 简并微扰理论

适用于系统存在简并能级的情况，即多个本征态对应相同的能量本征值。

处理方法：

对简并子空间内的态进行正交化，构造出新的本征态，从而解除简并。

步骤：

  1. 构造微扰矩阵：

    对于简并子空间 \(\{ |\phi_i^{(0)}\rangle \}\)，构造矩阵元素

    \[ H'_{ij} = \langle \phi_i^{(0)} | H' | \phi_j^{(0)} \rangle. \]

  2. 求解特征值问题：

    对矩阵 \( H'_{ij} \) 求解特征值和特征向量：

    \[ H' \mathbf{c} = \lambda \mathbf{c}. \]

    特征值 \( \lambda \) 即为一级能量修正，对应的特征向量 \( \mathbf{c} \) 给出修正后的波函数线性组合系数。

  3. 修正波函数

    解上述本征问题，得到零级近似本征态

  4. 二级修正，与非简并一样：

    \[ E_n^{(2)} = \sum_{m \neq n} \frac{|\langle \psi_m^{(0)} | H' | \psi_n^{(0)} \rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}}. \]

应用示例：

  • 非简并微扰理论 可以用于氢原子受外加电场（斯塔克效应）的一级修正计算。

  • 简并微扰理论 可以用于处理氢原子 \( n=2 \) 能级在外磁场下的塞曼效应。

含时微扰理论笔记

1 一级近似理论

  1. 含时微扰理论的基本假设

    考虑一个系统，其哈密顿量可分解为：

    \[ H(t) = H_0 + V(t), \]
    • \(H_0\)：不含时的零阶哈密顿量，已知其本征态和本征值：
    \[ H_0 | n \rangle = E_n | n \rangle. \]
    • \(V(t)\)：含时微扰，通常表示一个随时间变化的小扰动。

  2. 一级近似公式

    根据时间演化方程，可以得到微扰作用下，系统从初态 \(| i \rangle\) 跃迁到末态 \(| f \rangle\) 的概率振幅：

    \[ c_f^{(1)}(t) = -\frac{i}{\hbar} \int_{0}^{t} \langle f | V(t') | i \rangle e^{i\omega_{fi}t'} \, dt', \]

    其中 \(\omega_{fi} = \frac{E_f - E_i}{\hbar}\)。

2 简谐震荡微扰

  1. 外部扰动的形式

    假设微扰具有简谐振荡形式：

    \[ V(t) = V_0 e^{i\omega t} + V_0^\dagger e^{-i\omega t}, \]

    微扰作用会引起系统的跃迁，具体跃迁的概率由上述公式计算。

  2. 跃迁概率

    跃迁概率为：

    \[ P_{i \to f}(t) = \left| c_f^{(1)}(t) \right|^2. \]

    在谐振条件下，即当 \(\omega = \omega_{fi}\) 时，跃迁概率最大。

3 跃迁：光的吸收与发射

  1. 光的吸收

    • 系统吸收一个光子，跃迁到更高能级。

    • 微扰项对应于光场的作用：

    \[ V(t) \propto e^{-i\omega t}. \]

  2. 光的发射

    • 系统从高能级向低能级跃迁，发射一个光子。

    • 微扰项对应发射过程：

    \[ V(t) \propto e^{i\omega t}. \]

  3. 跃迁速率：

    根据费米黄金定律，跃迁速率为：

    \[ W_{i \to f} = \frac{2\pi}{\hbar} |\langle f | V | i \rangle|^2 \rho(E_f), \]

    其中 \(\rho(E_f)\) 是末态的态密度。

4 选择定则

选择定则：

\[ c_f^{(1)}(t) = -\frac{i}{\hbar} \int_{0}^{t} \langle f | V(t') | i \rangle e^{i\omega_{fi}t'} \, dt', \]

不为0

  1. 角动量守恒

    跃迁过程中，光子携带角动量 \(\hbar\)，因此系统需满足总角动量守恒：

    \[ \Delta l = \pm 1. \]

  2. 对称性要求

    根据波函数的对称性，某些跃迁会被抑制。例如：

    • 偶宇称 → 偶宇称： 禁止。

    • 偶宇称 → 奇宇称： 允许。

  3. 电偶极跃迁选择定则

    对于电偶极跃迁，选择定则为：

    \[ \Delta l = \pm 1, \quad \Delta m = 0, \pm 1. \]

  4. 磁偶极与电四极跃迁

    • 磁偶极跃迁：\(\Delta l = 0\) 或 \(\pm 1\)。

    • 电四极跃迁：\(\Delta l = 0, \pm 2\)。