6 微扰理论

不含时微扰理论

不含时微扰理论主要用于在系统哈密顿量随时间不变的情况下，计算系统能量本征值和本征态的修正。

1 非简并微扰理论

适用于不同能级彼此不简并的情况，即各个本征态对应不同的能量本征值。

基本假设：

哈密顿量可以分解为零阶哈密顿量 $H_0$ 和微扰项 $H^{\prime }$：

$$H=H_0+\lambda H^{\prime },$$

其中 $\lambda$ 是微扰强度的参数。

修正公式：

• 能量的一级修正：

$$E_n^{(1)}=⟨{\psi }_n^{(0)}|H^{\prime }|{\psi }_n^{(0)}⟩,$$ 其中 ${\psi }_n^{(0)}$ 为零阶本征态。

• 波函数的一级修正：

$$|{\psi }_n^{(1)}⟩=\sum _{m\ne n}\frac{⟨{\psi }_m^{(0)}|H^{\prime }|{\psi }_n^{(0)}⟩}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}|{\psi }_m^{(0)}⟩.$$

• 能量的二级修正：

$$E_n^{(2)}=\sum _{m\ne n}\frac{|⟨{\psi }_m^{(0)}|H^{\prime }|{\psi }_n^{(0)}⟩{|}^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}.$$

2 简并微扰理论

适用于系统存在简并能级的情况，即多个本征态对应相同的能量本征值。

处理方法：

对简并子空间内的态进行正交化，构造出新的本征态，从而解除简并。

步骤：

1. 构造微扰矩阵：

   对于简并子空间 $\{|{\varphi }_i^{(0)}⟩\}$，构造矩阵元素

   $$H_{ij}^{\prime }=⟨{\varphi }_i^{(0)}|H^{\prime }|{\varphi }_j^{(0)}⟩.$$

2. 求解特征值问题：

   对矩阵 $H_{ij}^{\prime }$ 求解特征值和特征向量：

   $$H^{\prime }\mathbf{c}=\lambda \mathbf{c}.$$

   特征值 $\lambda$ 即为一级能量修正，对应的特征向量 $\mathbf{c}$ 给出修正后的波函数线性组合系数。

3. 修正波函数

   解上述本征问题，得到零级近似本征态

4. 二级修正，与非简并一样：

   $$E_n^{(2)}=\sum _{m\ne n}\frac{|⟨{\psi }_m^{(0)}|H^{\prime }|{\psi }_n^{(0)}⟩{|}^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}.$$

应用示例：

• 非简并微扰理论 可以用于氢原子受外加电场（斯塔克效应）的一级修正计算。

• 简并微扰理论 可以用于处理氢原子 $n=2$ 能级在外磁场下的塞曼效应。

含时微扰理论笔记

1 一级近似理论

1. 含时微扰理论的基本假设

   考虑一个系统，其哈密顿量可分解为：

   $$H(t)=H_0+V(t),$$
   • $H_0$：不含时的零阶哈密顿量，已知其本征态和本征值：
   $$H_0|n⟩=E_n|n⟩.$$
   • $V(t)$：含时微扰，通常表示一个随时间变化的小扰动。

2. 一级近似公式

   根据时间演化方程，可以得到微扰作用下，系统从初态 $|i⟩$ 跃迁到末态 $|f⟩$ 的概率振幅：

   $$c_f^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hslash }{\int }_0^t⟨f|V(t^{\prime })|i⟩e^{i{\omega }_{fi}{t}^{\prime }}d{t}^{\prime },$$

   其中 ${\omega }_{fi}=\frac{E_f-E_i}{\hslash }$。

2 简谐震荡微扰

1. 外部扰动的形式

   假设微扰具有简谐振荡形式：

   $$V(t)=V_0{e}^{i\omega t}+V_0^{†}{e}^{-i\omega t},$$

   微扰作用会引起系统的跃迁，具体跃迁的概率由上述公式计算。

2. 跃迁概率

   跃迁概率为：

   $$P_{i\to f}(t)={|c_f^{(1)}(t)|}^2.$$

   在谐振条件下，即当 $\omega ={\omega }_{fi}$ 时，跃迁概率最大。

3 跃迁：光的吸收与发射

1. 光的吸收

   • 系统吸收一个光子，跃迁到更高能级。

   • 微扰项对应于光场的作用：

   $$V(t)\propto e^{-i\omega t}.$$

2. 光的发射

   • 系统从高能级向低能级跃迁，发射一个光子。

   • 微扰项对应发射过程：

   $$V(t)\propto e^{i\omega t}.$$

3. 跃迁速率：

   根据费米黄金定律，跃迁速率为：

   $$W_{i\to f}=\frac{2\pi }{\hslash }|⟨f|V|i⟩{|}^2\rho (E_f),$$

   其中 $\rho (E_f)$ 是末态的态密度。

4 选择定则

选择定则：

$$c_f^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hslash }{\int }_0^t⟨f|V(t^{\prime })|i⟩e^{i{\omega }_{fi}{t}^{\prime }}d{t}^{\prime },$$

不为0

1. 角动量守恒

   跃迁过程中，光子携带角动量 $\hslash$，因此系统需满足总角动量守恒：

   $$\mathrm{\Delta }l=\pm 1.$$

2. 对称性要求

   根据波函数的对称性，某些跃迁会被抑制。例如：

   • 偶宇称 → 偶宇称： 禁止。

   • 偶宇称 → 奇宇称： 允许。

3. 电偶极跃迁选择定则

   对于电偶极跃迁，选择定则为：

   $$\mathrm{\Delta }l=\pm 1,\mathrm{\Delta }m=0,\pm 1.$$

4. 磁偶极与电四极跃迁

   • 磁偶极跃迁：$\mathrm{\Delta }l=0$ 或 $\pm 1$。

   • 电四极跃迁：$\mathrm{\Delta }l=0,\pm 2$。