11 变分法¶

考虑在如下一维谐振子势井中运动的质量为\(m\)的粒子，

假设我们选取如下的试探波函数，

用变分法计算其基态能量与波函数

1. 总能量表达式

   一维谐振子的哈密顿量为：

   \[ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2. \]

   总能量的变分期望值为：

   \[ E[\psi_\alpha] = \frac{\langle \psi_\alpha | H | \psi_\alpha \rangle}{\langle \psi_\alpha | \psi_\alpha \rangle}. \]

2. 试探波函数的归一化

   假设试探波函数为：

   \[ \psi_\alpha(x) = \frac{1}{x^2 + \alpha}. \]

   归一化条件：

   \[ \int_{-\infty}^{\infty} |\psi_\alpha(x)|^2 \, dx = 1. \]

   计算归一化系数：

   \[ \langle \psi_\alpha | \psi_\alpha \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(x^2 + \alpha)^2} \, dx. \]

   通过变量代换 \( u = x/\sqrt{\alpha} \)，可以得出结果：

   \[ \langle \psi_\alpha | \psi_\alpha \rangle = \frac{\pi}{2\sqrt{\alpha^3}}. \]

   因此，归一化波函数为：

   \[ \psi_\alpha(x) = \sqrt{\frac{2\sqrt{\alpha^3}}{\pi}} \cdot \frac{1}{x^2 + \alpha}. \]

3. 计算动能期望值

   动能算符为：

   \[ T = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}. \]

   动能期望值为：

   \[ \langle T \rangle = -\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^{\infty} \psi_\alpha^*(x) \frac{d^2}{dx^2} \psi_\alpha(x) \, dx. \]

4. 计算势能期望值

   势能算符为：

   \[ V = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2. \]

   势能期望值为：

   \[ \langle V \rangle = \frac{1}{2} m \omega^2 \int_{-\infty}^{\infty} x^2 |\psi_\alpha(x)|^2 \, dx. \]

5. 最小化变分能量

   将总能量 \( E[\alpha] = \langle T \rangle + \langle V \rangle \) 表达为参数 \(\alpha\) 的函数，求导找到最小值。带回即可得到基态能量和波函数

总结：变分法就是猜一个波函数，由基态能量最小定理，得到参数。