散射问题¶
1. 散射截面¶
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定义
- 微分散射截面：描述粒子散射到某一立体角 \(d\Omega\) 内的概率密度。定义为：
\[ \frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{j_{\text{散射}}}{j_{\text{入射}}} = \left|\frac{f(\theta, \phi)}{k}\right|^2, \]其中 \(f(\theta, \phi)\) 为散射振幅，\(k\) 为入射波矢
- 总散射截面：对立体角积分：
\[ \sigma = \int \frac{d\sigma}{d\Omega} d\Omega. \] -
计算
考虑一个粒子在一个球形势阱中发生散射。势阱的形式为：
\[ V(r) = \begin{cases} -V_0, & r \leq R, \\ 0, & r > R, \end{cases} \]其中 \(V_0\) 是势阱的深度，\(R\) 是势阱的半径。求总散射截面。
解法:
使用Born近似来计算散射振幅。首先计算散射势的傅里叶变换：
\[ f(\theta) = -\frac{2m}{\hbar^2} \frac{1}{4\pi} \int e^{-i\mathbf{q} \cdot \mathbf{r}} V(\mathbf{r}) d^3\mathbf{r}. \]对于球形势，傅里叶变换结果为：
\[ f(\theta) = -\frac{2m}{\hbar^2} \frac{1}{4\pi} \int_0^R \left( \frac{4\pi r^2}{q} \right) \sin(qr) \, dr. \]计算得到散射振幅后，微分散射截面为：
\[ \frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta)|^2. \]最后，积分得到总散射截面：
\[ \sigma = \int \frac{d\sigma}{d\Omega} d\Omega. \]
2 Born近似¶
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定义
假设入射波函数在散射势作用下只发生小的扰动
- 总波函数为：
\[ \psi(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} + f(\theta, \phi) \frac{e^{ikr}}{r}. \]- 散射振幅 \(f(\theta, \phi)\) 在 Born 近似下为：
\[ f(\theta, \phi) = -\frac{2m}{\hbar^2} \frac{1}{4\pi} \int e^{-i\mathbf{q} \cdot \mathbf{r}} V(\mathbf{r}) d^3\mathbf{r}, \]其中 \(\mathbf{q} = \mathbf{k} - \mathbf{k'}\) 是动量转移，\(V(\mathbf{r})\) 为散射势。
- 适用于弱势场和高能入射粒子。
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计算
考虑一个粒子在一个散射势 \(V(\mathbf{r}) = \frac{A}{r^2}\) 中散射。求该势场下的散射振幅。
解法：
根据Born近似，散射振幅为：
\[ f(\theta) = -\frac{2m}{\hbar^2} \frac{1}{4\pi} \int e^{-i\mathbf{q} \cdot \mathbf{r}} V(\mathbf{r}) d^3\mathbf{r}. \]对于势场 \(V(\mathbf{r}) = \frac{A}{r^2}\)，进行积分得到：
\[ f(\theta) = -\frac{2mA}{\hbar^2} \frac{1}{4\pi} \int_0^\infty e^{-iqr} \frac{1}{r^2} 4\pi r^2 dr. \]计算得到：
\[ f(\theta) = -\frac{2mA}{\hbar^2} \frac{1}{q^2}. \]微分散射截面为：
\[ \frac{d\sigma}{d\Omega} = \left| f(\theta) \right|^2 = \frac{4m^2 A^2}{\hbar^4 q^4}. \]
3 分波法¶
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定义
将散射波函数展开为不同角动量的分波之和。
\[ \psi(\mathbf{r}) = \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1)i^l e^{i\delta_l} \frac{u_l(r)}{r} P_l(\cos\theta), \]其中 \(\delta_l\) 是分波的相移。
散射振幅与相移关系：
\[ f(\theta) = \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) \frac{e^{2i\delta_l} - 1}{2ik} P_l(\cos\theta). \]总截面：
\[ \sigma = \frac{4\pi}{k^2} \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) \sin^2 \delta_l. \] -
计算
在分波法中，如果只考虑 \( s \)-波（即角动量量子数 \( l = 0 \) 的情况），则问题的求解会大大简化。下面我们将通过一个具体例子来说明如何计算仅考虑 \( s \)-分波的散射截面。
考虑一个粒子在中心力场中进行散射，势能为 \( V(r) = -\frac{V_0}{r} \)（类似于库仑势或万有引力势），要求该势下仅考虑 \( s \)-分波的散射振幅和总散射截面。
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计算散射波函数
散射波函数可以展开为分波的形式：
\[ \psi(\mathbf{r}) = \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) i^l e^{i\delta_l} \frac{u_l(r)}{r} P_l(\cos \theta), \]其中 \( P_l(\cos \theta) \) 是勒让德多项式，\( u_l(r) \) 是径向部分，\( \delta_l \) 是相移。
考虑到我们只需要考虑 \( s \)-分波（即 \( l = 0 \)），波函数简化为：
\[ \psi(\mathbf{r}) = \frac{u_0(r)}{r} P_0(\cos \theta) = \frac{u_0(r)}{r}, \]其中 \( P_0(\cos \theta) = 1 \)。
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求解 \( s \)-波的径向方程
对于势 \( V(r) = -\frac{V_0}{r} \)，径向方程是：
\[ \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(r) \right] u_0(r) = E u_0(r). \]在球坐标中，拉普拉斯算符的径向部分为：
\[ \nabla^2 = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{d}{dr} \right). \]将势 \( V(r) = -\frac{V_0}{r} \) 代入径向方程得到：
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dr^2} u_0(r) + \frac{V_0}{r} u_0(r) = E u_0(r). \]这是一个典型的库仑势散射的径向方程，解的形式为：
\[ u_0(r) = A e^{-\gamma r}, \]其中 \( \gamma = \frac{\mu V_0}{\hbar^2} \)，\( \mu \) 是粒子的有效质量。对于库仑势散射，通常可以求得解的精确形式。由于在这里我们主要关注 \( s \)-波的相移，因此继续进行简化。
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计算散射振幅和相移
根据分波法，散射振幅 \( f(\theta) \) 与相移 \( \delta_l \) 的关系为：
\[ f(\theta) = \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) \frac{e^{2i\delta_l} - 1}{2ik} P_l(\cos \theta), \]对于 \( s \)-波（即 \( l = 0 \)），\( P_0(\cos \theta) = 1 \)，因此散射振幅为：
\[ f(\theta) = \frac{e^{2i\delta_0} - 1}{ik}. \]
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4 全同粒子散射¶
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波函数对称性
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玻色子：波函数必须对称。
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费米子：波函数必须反对称。
散射振幅修正
- 总散射波函数为：
\[ \psi_{\text{总}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) \pm \psi(\mathbf{r}_2, \mathbf{r}_1) \right]. \]- 微分散射截面：
\[ \frac{d\sigma}{d\Omega} = \left| f(\theta) \pm f(\pi - \theta) \right|^2, \]其中 \(+\) 对应玻色子，\(-\) 对应费米子。
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计算
考虑两个全同费米子在一个势阱中发生散射。假设势阱的形式为 \(V(\mathbf{r}) = \frac{A}{r^2}\)，求费米子之间的散射振幅
解法：
由于是费米子，波函数应为反对称的。两费米子间的总波函数为：
\[ \psi_{\text{总}}(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) - \psi(\mathbf{r}_2, \mathbf{r}_1) \right], \]其中 \(\psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2)\) 是未交换粒子的位置的波函数。对于反对称的波函数，我们必须考虑散射振幅的反对称性：
\[ f_{\text{总}}(\theta) = -\frac{2mA}{\hbar^2} \frac{1}{q^2} \left[1 - (-1) \right] = 0. \]这表示在这种情况下，由于费米子之间的交换效应，散射振幅为零，因此散射截面也为零。
对于玻色子，则会有对称波函数，散射振幅的计算方法会有所不同。